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Resortes acoplados y solución en WxMaxima

Posted on by Matematikai

El siguiente sistema de ecuaciones representa el comportamiento de dos resortes acoplados verticalmente (ver pp. 296-297 [Zill 2009]):

    \begin{align*} \ddot{x_1}+10x_1-4x_2 &= 0 \\ -4x_1+\ddot{x_2}+4x_2 &= 0 \end{align*}

con condiciones iniciales: x_1(0)=0,\; x_1'(0)=1,\; x_2(0)=0,\; x_2'(0)=-1

Como ejemplo del uso de WxMaxima para resolver este tipo de problemas, presentamos  las instrucciones básicas para su solución (ver archivo resuelveode2.wxm)

ec_1: 'diff(x_1(t),t,2)+10*x_1(t)-4*x_2(t)=0;
ec_2: -4*x_1(t)+'diff(x_2(t),t,2)+4*x_2(t)=0;
atvalue(x_1(t),t=0,0);
atvalue('diff(x_1(t),t),t=0,1);
atvalue(x_2(t),t=0,0);
atvalue('diff(x_2(t),t),t=0,-1);
desolve([ec_1,ec_2],[x_1(t),x_2(t)]);

Evaluando estas instrucciones contenidas en el archivo anterior (con Ctrl-R, en WxMaxima), obtenemos la solución:

    \begin{align*} x_1(t) &= \frac{\sqrt{3}}{5}sen(2 \sqrt{3} t) - \frac{1}{5 \sqrt{2}}sen(\sqrt{2} t) \\ x_2(t) &= -\frac{\sqrt{3}}{10}sen(2 \sqrt{3} t) - \frac{\sqrt{2}}{5}sen(\sqrt{2} t)\end{align*}

Compartimos el archivo visualizaode2.ggb (para GeoGebra) que nos permite visualizar la solución previamente obtenida.

Gráficas de posiciones de resortes acoplados

Le invitamos también a activar el archivo animaode2.ggb que permite de manera básica simular la dinámica de este sistema:

Resortes acoplados y animación básica

Referencia: [Zill 2009] Dennis G. Zill. Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado (9/e) Cengage Learning.


Applet recomendado: →Masses & Springs (con audio) PhET Interactive simulations. Univ. of Colorado at Boulder. [acc. 2010.12.11]