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Grupo de Estudio de Álgebra Lineal por Competencias Específicas : Bloque 1

CE 1-5 [SEL, Determinantes, Cramer]

[CE 1] Determinar si una pareja de números $(\alpha,\beta)$ pertenece al conjunto de soluciones del sistema:

$\begin{align*} a_{11}x+a_{12}y &= b_1 \\ a_{21}x+a_{22}y &= b_2 \end{align*}$

haciendo las sustituciones $x \leftarrow \alpha$ , $y \leftarrow \beta$ y verificando que se cumplen las ecuaciones del sistema.

Observación: con frecuencia los números involucrados serán elementos de los números racionales $\mathbb{Q}$ , más adelante veremos que dichos números podrán ser reales $\mathbb{R}$ e incluso pertenecer al conjunto de los números complejos $\mathbb{C}$ .

Nota: Aunque aún no estamos utilizando propiamente la representación matricial del sistema, estamos utilizando las variables doblemente indexadas $a_{ij}$ que representan al elemento en el renglón- $i$ y columna- $j$ de la matriz $A$ . En un próximo bloque representaremos de forma compacta un sistema lineal mediante la notación $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ .

Actividad 1A Determine si la pareja $(-\frac{7}{3},-\frac{5}{3})$ es o no, una solución del sistemas de ecuaciones:

$\begin{align*} x-2y &= 1 \\ x+y &= -4 \end{align*}$

[CE 2] Determinar el conjunto de soluciones que cumplen con el sistema:

$\begin{align*} a_{11}x+a_{12}y &= b_1 \\ a_{21}x+a_{22}y &= b_2 \end{align*}$

utilizando ya sea el método de eliminación o el de sustitución.

Observación: el conjunto de soluciones podrá consistir en cero, uno o bien un número infinito de pares ordenados.

Sugerencia: [estudiar ejemplos resueltos en →Ecuaciones Ed. Anaya (pp. 13-16) ]

Actividad 2A Determine el conjunto de soluciones para el sistema:

$\begin{align*} x-2y &= 6 \\ -2x+4y &= -\frac{1}{2} \end{align*}$

[CE 3] Encontrar el valor del determinante de una matriz $A$ de dimensión $2 \times 2$ , es decir encontrar $det(A)$ donde:

$det(A)=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$

mediante la definición $a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12}$ .

Observación: En general los elementos de dicha matriz pueden ser no solamente números, sino también funciones y otros objetos matemáticos.

Actividad 3A Encuentre el valor de los determinantes de las siguientes matrices:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} \frac{2}{3} & 3 \\ 2 & \frac{3}{2} \end{pmatrix}$

$\displaystyle B=\begin{pmatrix} x & -cosx \\ -x & cosx \end{pmatrix}$

[CE 4] Encontrar el valor del determinante de una matriz $A$ de dimensión $3 \times 3$ , mediante la regla de Sarrus, es decir encontrar $det(A)$ donde:

$det(A)=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$

Observación: La regla de Sarrus aplica sólo a matrices $3 \times 3$ .

Sugerencia: [estudiar→Video Determinant 3X3 {mediante Regla de Sarrus}]

Nota: Más adelante veremos el cálculo del determinante para matrices de orden $n$ (es decir: $n \times n$ ), mediante el método de menores y cofactores.

Actividad 4A Encuentre el determinante de las siguientes matrices, utilizando la regla de Sarrus.

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ 2 & \frac{3}{2} & 3 \\ \frac{1}{3} & 2 & 1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & cosx \\ x & -1 & cosx \end{pmatrix}$

[CE 5] Determinar el conjunto de soluciones que cumplen con el sistema:

$\begin{align*} a_{11}x+a_{12}y + +a_{13}z &= b_1 \\ a_{21}x+a_{22}y +a_{23}z &= b_2 \\ a_{31}x+a_{32}y +a_{33}z &= b_3\end{align*}$

utilizando la Regla de Cramer.

Observación: La Regla de Cramer aplica sólo a sistemas donde el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas, y para el cual el determinante de su “matriz de coeficientes” es distinto de cero.

Sugerencia: [estudiar →Video de Julio Ríos: Solución de un sistema de 2x2 mediante la Regla de Cramer] {aunque este ejemplo es para $2 \times 2$ , el método se generaliza directamente al caso $n \times n$ }.

Actividad 5A Determinar mediante la regla de Cramer, la solución al sistema de ecuaciones lineales:

$\begin{align*} x+2y -z &= 3 \\ x-4y +2z &= 0 \\ -2x-y +4z &= -1\end{align*}$

[Nota: Favor de consultar la página principal de AL para fechas de evaluación de estas CE. Gracias]